この間のSafari 10のバージョンアップで、プラグインへのセキュリティが強化されたようです。
Flashのプラグインがデフォルトでオフに(・ω・;)
手動でプラグインの使用を許可しないとFlashが起動しません!?

設定方法はSafariの公式サーポートのページにありました。
「Web サイトの環境設定を手動で設定する」
※「ほかの Web サイトを閲覧しようとしたとき」を「確認」か「オン」にしないと、ダウンロードになってしまいます。

なんていうか、ほとんどのユーザは戸惑うんではないか？Macデフォルトのブラウザでしょっ！Appleさんいつも強引すぎ！と、思ってしまう変更ですね。
Macを使ってる人たちから質問が来るので勘弁。

私は今後もプライベートではMacを使いませんよ。質問は来るだろうけど(*´-｀*)

世の中Flash排除の方向へ向かっているので、他のブラウザでも同じことが起きるかも。
個人的にはhtml5に移ってくれるのなら、それはそれでうれしいんですが。
今あるFlashサイトのサービスが終わってしまうのも悲しいですね～。